Bất phương trình logarit: Ứng dụng tính chất hàm số đồng biến và nghịch biến trong phân tích và giải toán

Tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số logarit đóng vai trò thiết yếu trong việc giải bất phương trình logarit. Khi giải, thay vì thực hiện phép biến đổi phức tạp, người học có thể dựa vào tính chất này để chuyển bất phương trình logarit thành dạng bất phương trình cơ bản hơn. Ví dụ, với \(a > 1\), hàm logarit đồng biến, do đó mọi bất phương trình \(\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))\) tương đương \(f(x) > g(x)\) và ngược lại. Còn khi \(0 < a < 1\), logarit nghịch biến, bất phương trình sẽ đổi chiều thứ tự. Hiểu sâu sắc về tính chất này sẽ giúp người học tự tin xử lý các dạng bất phương trình phức tạp, đồng thời giúp họ phân tích và giải các câu hỏi toán học có liên quan đến hàm số logarit trong những trường hợp thực tế và đề thi quan trọng. Bài viết hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán bất phương trình logarit thường gặp trong chương trình Giải tích 12 Bất phương trình logarit là một bài toán đòi hỏi người giải phải hiểu kỹ về tính chất hàm số logarit và các điều kiện xác định của biểu thức logarit. Khi giải bất phương trình, đầu tiên cần xét miền giá trị để biểu thức bên trong logarit luôn dương, tức là \(f(x) > 0\). Tiếp theo, dựa vào loại bất phương trình như \(\log_a(f(x)) > b\), \(\log_a(f(x)) < \log_a(g(x))\), người giải sẽ áp dụng tính đơn điệu của hàm logarit để biến đổi bất phương trình thành dạng phù hợp hơn, thường là bất phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Ngoài ra, trong một số trường hợp phức tạp, có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ để đơn giản hóa công việc giải bất phương trình logarit. Việc áp dụng đúng phương pháp và nắm chắc bước kiểm tra điều kiện xác định đảm bảo đạt được nghiệm chính xác và tránh sai sót khi làm các bài toán logarit. Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit .